已知橢圓C的中心在原點O，其右焦點為F（1，0），長軸長為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）斜率為1的直線l經過點F，交橢圓C于M，N兩點，P為橢圓位于第四象限上一點，且OP⊥MN，求四邊形OMPN的面積．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）利用橢圓右焦點為F（1，0），長軸長為4，求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（2）直線l的方程為y=x-1，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，計算|MN|，求出|OP|，即可求四邊形OMPN的面積．
解答： 解；（1）由題意c=1，2a=4
．∴a=2，b2=a2-c2=3，
∴橢圓C的方程
x2
4
+
y2
3
=1
（2）直線l的方程為y=x-1，設M（x1，y1），N（x1，y2），P（x0，y0），
∴
y=x-1
x2
4
+
y2
3
=1
，∴7x2-8x-8=0，∴x1+x2=
8
7
，x1x2=
8
7
，|MN|=
(1+12)[(x1+x2)2-4x1x2]
=
24
7
，
OP所在直線為y=-x，∴
y=-x
x2
4
+
y2
3
=1
，∴x2=
12
7
，
|OP|2
=x
2
0
+
y
2
0
=
24
7
，
S四邊形OMPN=
1
2
|MN|•|OP|=
1
2
•
24
7
•
24
7
=
24
42
49
．
點評：本題考查橢圓方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查面積的計算，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知i為虛數(shù)單位，z=
1
1-i
，且z的共軛復數(shù)為
.
z
，則
.
z
=（　�。�
A、
1+i
2
B、
1-i
2
C、1+i
D、1-i

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

某地區(qū)試行高考考試改革：在高三學年中舉行5次統(tǒng)一測試，學生如果通過其中2次測試即可獲得足夠學分升上大學繼續(xù)學習，不用參加其余的測試，而每個學生最多也只能參加5次測試．假設某學生每次通過測試的概率都是
1
3
，每次測試通過與否互相獨立．規(guī)定：若前4次都沒有通過測試，則第5次不能參加測試．
（Ⅰ）求該學生考上大學的概率．
（Ⅱ）如果考上大學或參加完5次測試就結束，記該生參加測試的次數(shù)為ξ，求P（ξ＞3）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知向量
a
=（-3，2）與向量
b
=（x，-5）
（1）若向量
a
⊥向量
b
，求實數(shù)x的值； 
（2）若向量
a
與向量
b
的夾角為鈍角，求實數(shù)x的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=4cosxsin（x+
π
6
）-1．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[-
π
6
，
π
4
]上的最大值和最小值以及相應的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f（x+
1
x
）=x2+
1
x2
，求f（x）的解析式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知
a
=（1，1），
b
=（1，-1），將向量
c
=（2，3）表示成x
a
+y
b
的形式．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

求函數(shù)y=|1-
1
x
-
1
x-1
|最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)y=
4-x2
2
的圖象是曲線C．
（Ⅰ）在如圖的坐標系中作出曲線C的示意圖，并標出曲線C與x軸的左、右交點A1，A2；
（Ⅱ）設P是曲線C上位于第一象限的任意一點，過A2作A2R垂直于直線A1P于R，設A2R與曲線C交于Q，求直線PQ斜率的取值范圍．

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