Question

6．已知函數(shù)f（x）=e^xsinx，其中x∈R，e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當$x∈[0，\frac{π}{2}]$時，f（x）≥kx，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導數(shù)，結合三角函數(shù)的性質求出函數(shù)的單調區(qū)間即可；
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，通過討論k的范圍確定函數(shù)的單調性，從而求出k的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ） f′（x）=e^xsinx+e^xcosx=e^x（sinx+cosx），
令$y=sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，
當$x∈（2kπ-\frac{π}{4}，2kπ+\frac{3π}{4}），{f^'}（x）＞0，f（x）$單調遞增，（2分）
$x∈（2kπ+\frac{3π}{4}，2kπ+\frac{7π}{4}），{f^'}（x）＜0，f（x）$單調遞減                             （4分）
（Ⅱ） 令g（x）=f（x）-kx=e^xsinx-kx，即g（x）≥0恒成立，
而g′（x）=e^x（sinx+cosx）-k，
令h（x）=e^x（sinx+cosx）⇒h′（x）=e^x（sinx+cosx）+e^x（cosx-sinx）=2e^xcosx，
∵$x∈[0，\frac{π}{2}]，{h^'}（x）≥0⇒h（x）$在$[0，\frac{π}{2}]$上單調遞增，$1≤h（x）≤{e^{\frac{π}{2}}}$，（6分）
當k≤1時，g′（x）≥0，g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上單調遞增，g（x）≥g（0）=0，符合題意；
當$k≥{e^{\frac{π}{2}}}$時，g′（x）≤0⇒g（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上單調遞減，g（x）≤g（0）=0，與題意不合；                                            （8分）
當$1＜k＜{e^{\frac{π}{2}}}$時，g′（x）為一個單調遞增的函數(shù)，而${g^'}（0）=1-k＜0，{g^'}（\frac{π}{2}）={e^{\frac{π}{2}}}-k＞0$，
由零點存在性定理，必存在一個零點x₀，使得g′（x₀）=0，
當x∈[0，x₀）時，g′（x）≤0，從而g（x）在x∈[0，x₀）上單調遞減，
從而g（x）≤g（0）=0，與題意不合，
綜上所述：k的取值范圍為（-∞，1]（12分）

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及函數(shù)的零點問題，是一道中檔題．