Question

11．已知函數(shù)$f（x）=x+\frac{a}{x}+lnx（a∈R）$
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于x的函數(shù)$g（x）=\frac{lnx}{x^2}-f（x）+lnx+2e$有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求a的值（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）把方程化為$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，求得 h（x）=$\frac{lnx}{x}$的最大值為 h（e）=$\frac{1}{e}$，再求得m（x）=x²-2ex+a 的最小值 m（e）=a-e²，根據(jù) a-e²=$\frac{1}{e}$求出a的值．

解答 解：（1）f（x）的定義域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{{x}^{2}+x-a}{{x}^{2}}$，
①△=1+4a≤0即a≤-$\frac{1}{4}$時(shí)，x²+x-a≥0，
則f′（x）≥0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
②①△=1+4a＞0即a＞-$\frac{1}{4}$時(shí)，
令f′（x）=0，解得：x₁=$\frac{-1-\sqrt{1+4a}}{2}$＜0，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，
若-$\frac{1}{4}$＜a≤0，則x₂≤0，
∴f（x）在（0，+∞）遞增，
若a＞0，x∈（0，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）時(shí)，f′（x）＜0，x∈（$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，+∞），f′（x）＞0，
∴f（x）在（0，$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$）遞減，在（$\frac{-1+\sqrt{1+4a}}{2}$，+∞）遞增；
（2）關(guān)于x的方程g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$-f（x）+lnx+2e，可化為$\frac{lnx}{x}$=x²-2ex+a，
令h（x）=$\frac{lnx}{x}$，令h′（x）=0，得x=e，故 h（x）的最大值為 h（e）=$\frac{1}{e}$．  
令m（x）=x²-2ex+a，可得：x=e時(shí)，m（x）的最小值 m（e）=a-e² ，
由 a-e²=$\frac{1}{e}$可得 a=e²+$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．