Question

20．函數(shù)f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$，向量$\overrightarrow{a}$=（sinθ，cosθ），$\overrightarrow$=$（sinθ，\sqrt{3}sinθ+2cosθ）$，其中角θ的頂點與坐標(biāo)原點重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過點P（x，y），且0≤θ≤π．
（1）若點P的坐標(biāo)為$（\frac{1}{2}\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，求f（θ）的值；
（2）若點P（x，y）滿足y=1，|x|≤1，試確定θ的取值范圍，并求函數(shù)f（θ）的最小值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)公式，建立條件關(guān)系，根據(jù)三角函數(shù)的定義，即可得到結(jié)論；
（2）作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用數(shù)形結(jié)合即可得到f（θ）的最小值．

解答 解：（1）由P$（\frac{1}{2}\;，\;\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，且0≤θ≤π得θ=$\frac{π}{3}$；
f（θ）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=$si{n}^{2}θ+\sqrt{3}sinθcosθ+2co{s}^{2}θ$=$1+co{s}^{2}θ+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ$
=$1+\frac{1+cos2θ}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ$=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2θ+\frac{1}{2}cos2θ+\frac{3}{2}$=$sin（2θ+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$．
∴f（θ）=f（$\frac{π}{3}$）=$sin（2×\frac{π}{3}+\frac{π}{6}）+\frac{3}{2}$=2；
（2）如圖，作出平面區(qū)域Ω為線段AB．

則得θ∈[$\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}$]，
f（θ）=sin（2θ+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$，
∵θ∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴2θ+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{2}{3}π$，$\frac{5}{3}π$]，
∴f（θ）的最小值=f（$\frac{2π}{3}$）=$\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}$．

點評 本題主要三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用平面向量的數(shù)量積公式進行化簡是解決本題的根據(jù)，注意線性規(guī)劃的應(yīng)用，是中檔題．