Question

9．已知偶函數(shù)y=f（x）對于任意的$x∈[0，\frac{π}{2}）$滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0（其中f'（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式中成立的是（　　）

• A． $\sqrt{2}f（-\frac{π}{3}）＜f（\frac{π}{4}）$
• B． $\sqrt{2}f（-\frac{π}{3}）＜f（-\frac{π}{4}）$
• C． $f（0）＞\sqrt{2}f（-\frac{π}{4}）$
• D． $f（\frac{π}{6}）＜\sqrt{3}f（\frac{π}{3}）$

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，則可判斷g（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上單調(diào)遞增，利用g（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（x）的奇偶性即可判斷．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{cosx}$，則g′（x）=$\frac{f′（x）cosx+f（x）sinx}{co{s}^{2}x}$＞0，
∵對于任意的$x∈[0，\frac{π}{2}）$滿足f'（x）cosx+f（x）sinx＞0，
∴g（x）在[0，$\frac{π}{2}$）上是增函數(shù)，
∴g（0）＜g（$\frac{π}{6}$）＜g（$\frac{π}{4}$）＜g（$\frac{π}{3}$），
即f（0）＜$\frac{f（\frac{π}{6}）}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$＜$\frac{f（\frac{π}{4}）}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$＜$\frac{f（\frac{π}{3}）}{\frac{1}{2}}$，
∴$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），f（0）＜$\sqrt{2}$f（$\frac{π}{4}$），f（$\frac{π}{6}$）＜$\sqrt{3}$f（$\frac{π}{3}$），
又f（x）是偶函數(shù)，
∴$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＞f（$\frac{π}{4}$），$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{3}$）＞f（-$\frac{π}{4}$），f（0）＜$\sqrt{2}$f（-$\frac{π}{4}$），
故選D．

點(diǎn)評 本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，根據(jù)所給條件構(gòu)造函數(shù)g（x）是解題的關(guān)鍵．