18.如圖,二面角a-l-β為60°,A∈a,B∈β,AA′⊥l交l于A′,BB′⊥l交1于B′,若AA′=2,BB′=1,A′B′=$\sqrt{3}$.
(1)求線段AB的長(zhǎng);
(2)求AB與l所成的角.

分析 (1)在平面α內(nèi),過(guò)B′作B′C∥A′A,過(guò)A作AC∥A′B′,交B′C于點(diǎn)C,則四邊形AA′B′C是矩形,由余弦定理得求出BC,由此能求出AB.
(2)由AC∥l,得∠BAC是AB與l所成的角,由此能求出AB與l所成的角的大小.

解答 解:(1)在平面α內(nèi),過(guò)B′作B′C∥A′A,過(guò)A作AC∥A′B′,交B′C于點(diǎn)C,
∵二面角a-l-β為60°,A∈a,B∈β,AA′⊥l交l于A′,
BB′⊥l交1于B′,AA′=2,BB′=1,A′B′=$\sqrt{3}$,
∴四邊形AA′B′C是矩形,AC=A′B′=$\sqrt{3}$,B′C=AA′=2,∠BB′C=60°,
∴BC=$\sqrt{B{{B}^{'}}^{2}+{B}^{'}{C}^{2}-2×B{B}^{'}×{B}^{'}C×cos60°}$=$\sqrt{1+4-2×1×2×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$,
∵l⊥BB′,l⊥B′C,AC∥l,
∴AC⊥平面BB′C,∴∠ACB=90°,
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{3+3}$=$\sqrt{6}$.
(2)∵AC∥l,∴∠BAC是AB與l所成的角,
∵$AC=BC=\sqrt{3}$,AC⊥BC,
∴∠BAC=45°,
∴AB與l所成的角為45°.

點(diǎn)評(píng) 本題考查兩直線所成角的大小的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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