Question

9．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，A+3C=π．
（1）若$\frac{c}$=$\sqrt{3}$，求角C；
（2）若△ABC為銳角三角形，求cosB取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內(nèi)角和定理與正弦定理、倍角公式即可得出．
（2）由于△ABC為銳角三角形，B=2C∈$（0，\frac{π}{2}）$，A=π-3C=$π-\frac{3}{2}B$∈$（0，\frac{π}{2}）$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵A+3C=π=A+B+C，∴B=2C．
∵$\frac{c}$=$\sqrt{3}$，∴$\frac{sinB}{sinC}$=$\sqrt{3}$=$\frac{sin2C}{sinC}$=2cosC，
∴cosC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{6}$．
（2）∵△ABC為銳角三角形，B=2C∈$（0，\frac{π}{2}）$，
A=π-3C=$π-\frac{3}{2}B$∈$（0，\frac{π}{2}）$，
解得$\frac{π}{3}$＜B$＜\frac{π}{2}$，
∴cosB∈$（0，\frac{1}{2}）$．

點評 本題考查了三角形內(nèi)角和定理、正弦定理、銳角三角形的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．