Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\frac{lnx}{x}$-kx（k∈R），在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上的有兩個零點，則k的取值范圍[$\frac{2}{{e}^{4}}$，$\frac{1}{2e}$）．

Answer 1

分析 令f（x）=0，可得k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上有兩個實數(shù)解．即直線y=k和g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上有兩個交點．求出g（x）的導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最值和端點處的函數(shù)值，即可得到所求k的范圍．

解答 解：由f（x）=0，可得kx=$\frac{lnx}{x}$，
即為k=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上有兩個實數(shù)解．
即直線y=k和g（x）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上有兩個交點．
由g′（x）=$\frac{1-2lnx}{{x}^{3}}$，可得g（x）在[$\frac{1}{e}$，$\sqrt{e}$）遞增，
在（$\sqrt{e}$，e²]遞減，
即有g(shù)（x）在x=$\sqrt{e}$取得最大值$\frac{1}{2e}$；
由g（$\frac{1}{e}$）=-e²，g（e²）=$\frac{2}{{e}^{4}}$，
可得當(dāng)$\frac{2}{{e}^{4}}$≤k＜$\frac{1}{2e}$時，直線y=k和函數(shù)g（x）的圖象有兩個交點．
即有函數(shù)f（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e²]上的有兩個零點．
故答案為：[$\frac{2}{{e}^{4}}$，$\frac{1}{2e}$）．

點評 本題考查函數(shù)的零點問題的解法，注意運用轉(zhuǎn)化思想，構(gòu)造函數(shù)法和導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間、最值，考查運算能力，屬于中檔題．