Question

13．已知$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$、$\overrightarrow c$是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，$\overrightarrow a$=（1，2）．
（1）若|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{5}$且$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，求$\overrightarrow c$的坐標(biāo)；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{10}$，且$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$與2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直，求$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量關(guān)系的坐標(biāo)關(guān)系結(jié)合向量模長的公式進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)向量垂直建立方程關(guān)系，結(jié)合向量數(shù)量積的公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow c$∥$\overrightarrow a$，$\overrightarrow a$=（1，2）．
∴設(shè)$\overrightarrow c$=m$\overrightarrow a$=（m，2m）．
若|$\overrightarrow c$|=2$\sqrt{5}$，
則$\sqrt{{m}^{2}+4{m}^{2}}$=$\sqrt{5}$|m|=2$\sqrt{5}$，
則|m|=2，則m=±2，則$\overrightarrow c$=（2，4）或（-2，-4）；
（2）若|$\overrightarrow b$|=$\sqrt{10}$，且$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$與2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$垂直，
則（$\overrightarrow a$+2$\overrightarrow b$）•（2$\overrightarrow a$-$\overrightarrow b$）=0，
即2$\overrightarrow a$²-2$\overrightarrow b$²+3$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=0，
即2×5-2×10+3×$\sqrt{5}×\sqrt{10}$cosθ=0，
即cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$
則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ=arccos$\frac{\sqrt{2}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查向量數(shù)量積的應(yīng)用，結(jié)合向量平行和向量垂直的關(guān)系建立方程是解決本題的關(guān)鍵．