Question

3．設(shè)a＞0，b＞0．若3是3^a與3^b的等比中項(xiàng)，則$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值為（　　）

• A． $3+2\sqrt{2}$
• B． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{3}$
• C． $\frac{{3+2\sqrt{2}}}{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 由等比中項(xiàng)的概念可得3^a•3^b=9，化簡(jiǎn)得a+b=2，然后利用基本不等式的性質(zhì)求得$\frac{1}{a}+\frac{2}$的最小值．

解答 解：由3是3^a與3^b的等比中項(xiàng)，得3^a•3^b=9，即a+b=2，
∴$\frac{a}{2}+\frac{2}=1$，
則$\frac{1}{a}+\frac{2}$=（$\frac{1}{a}+\frac{2}$）（$\frac{a}{2}+\frac{2}$）=$\frac{1}{2}+1+\frac{2a}+\frac{a}≥\frac{3}{2}+2\sqrt{\frac{2a}•\frac{a}}=\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$b=\sqrt{2}a$時(shí)上式等號(hào)成立．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了利用基本不等式求最值，是基礎(chǔ)題．