Question

5．如圖，在正四棱錐S-ABCD中，每條側棱的長都等于底邊的長，P為側棱SD上的動點．
（1）求證：平面PAC⊥平面SBD；
（2）若P為SD的中點，求異面直線SB與PC所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）作輔助線易證AC⊥BD，AC⊥SO，可得AC⊥平面SBD，進而可證平面PAC⊥平面SBD；
（2）建立空間直角坐標系易得$\overrightarrow{SB}$和$\overrightarrow{PC}$的坐標，進而可得向量夾角的余弦值，可得答案．

解答 證明：（1）連接AC、BD交于點O，連接SO，
∵四棱錐S-ABCD為正四棱錐，
∴AC⊥BD，AC⊥SO，
又SO∩BD=O，∴AC⊥平面SBD，
又AC?平面AC，∴平面PAC⊥平面SBD；
（2）建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz，
設正四棱錐S-ABCD的棱長均為2，
則B（$\sqrt{2}$，0，0），S（0，0，$\sqrt{2}$），D（-$\sqrt{2}$，0，0），
C（0，$\sqrt{2}$，0），P（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\overrightarrow{SB}$=（$\sqrt{2}$，0，-$\sqrt{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{2}$，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{SB}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{SB}||\overrightarrow{PC}|}$=$\frac{1+1}{2•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴異面直線SB與PC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$

點評 本題考查空間角，涉及垂直關系的判定和空間向量的夾角，屬中檔題．