Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=x²-xlnx+2．
（1）求函數(shù)g（x）=f′（x）的極值；
（2）若存在區(qū)間[a，b）⊆[$\frac{1}{2}$，+∞），使[a，b]上的值域是[ka，kb]，求k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求f′（x），從而得到g（x）=2x-lnx-1，求g′（x），根據(jù)其符號(hào)即可得出g（x）的極值，并且是極小值為g（$\frac{1}{2}$）=ln2；
（2）由上面便知f′（x）＞0，從而得出f（x）在[a，b]上為增函數(shù)，從而便可得到$\left\{\begin{array}{l}{f（a）=ka}\\{f（b）=kb}\end{array}\right.$，從而得到方程f（x）=kx有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，并且解出k=$x-lnx+\frac{2}{x}$，可設(shè)h（x）=x-lnx+$\frac{2}{x}$，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可得到h（x）在[$\frac{1}{2}$，+∞）上的最小值為h（2），從而得出k的取值范圍為（h（2），h（$\frac{1}{2}$）]．

解答 解：（1）g（x）=f′（x）=2x-lnx-1，g′（x）=$\frac{2x-1}{x}$；
∴當(dāng)x∈（0，$\frac{1}{2}$）時(shí)，g′（x）＜0；當(dāng)x$∈（\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，g′（x）＞0；
∴$g（\frac{1}{2}）=ln2$是g（x）的極小值；
（2）由（1）知g（x）的極小值，也是最小值為ln2＞0，即f′（x）＞0；
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∵存在區(qū)間[a，b]⊆[$\frac{1}{2}$，+∞），使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇ka，kb]；
∴f（a）=ka，f（b）=kb，$\frac{1}{2}≤a＜b$；
∴方程x²-xlnx+2=kx有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根；
解出k=$x-lnx+\frac{2}{x}$，設(shè)h（x）=$x-lnx+\frac{2}{x}$，x$∈[\frac{1}{2}，+∞）$，則函數(shù)h（x）和函數(shù)y=k有兩個(gè)不同交點(diǎn)；
$h′（x）=\frac{（x+1）（x-2）}{{x}^{2}}$；
∴$x∈[\frac{1}{2}，2）$時(shí)，h′（x）＜0，x∈（2，+∞）時(shí)，h′（x）＞0；
∴h（2）=3-ln2是h（x）的極小值，也是最小值，又h（$\frac{1}{2}$）=$\frac{9}{2}+ln2$；
∴k的取值范圍為$（3-ln2，\frac{9}{2}+ln2]$．

點(diǎn)評(píng) 考查函數(shù)極值的概念，以及求極值的方法，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用，方程的解和對(duì)應(yīng)函數(shù)交點(diǎn)的關(guān)系，在求k范圍時(shí)可結(jié)合圖象．