Question

3．若點P（x，y）滿足線性約束條件$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{3}x-y≤0\\ x-\sqrt{3}y+2≥0\\ y≥0\end{array}\right.$，點$A（3，\sqrt{3}）$，O為坐標原點，則$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為（　�。�

• A． 0
• B． 3
• C． -6
• D． 6

Answer 1

分析 設(shè)z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$，根據(jù)數(shù)量積的公式計算出z，作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)z=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$，則z=3x+$\sqrt{3}$y，即y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$，
作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$，由圖象可知當直線y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$經(jīng)過點A時，
直線y=-$\sqrt{3}$x+$\frac{z}{\sqrt{3}}$的截距最大，此時z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x}\\{x-\sqrt{3}y+2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，即A（1，$\sqrt{3}$），
此時z=3×1+$\sqrt{3}×\sqrt{3}$=3+3=6，
故$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$的最大值為6，
故選：D．

點評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，根據(jù)數(shù)量積的公式將條件化簡，以及利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．