Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n=

1

2

a_n+1-2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求證：數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；     
（2）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差關(guān)系的確定

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）依題意知，

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，又

a1

21

=1，由等差數(shù)列的定義可證數(shù)列{

an

2n

}是等差數(shù)列；
（2）由（1）知a_n=n•2ⁿ，S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ；利用錯(cuò)位相減法即可求得數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）證明：∵a₁=2，a_n=

1

2

a_n+1-2ⁿ，
∴

an

2n

=

an+1

2n+1

-1，即

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，又

a1

21

=1，
∴數(shù)列{

an

2n

}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；
（2）解：由（1）知，

an

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ；①
2S_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹；②
①-②得：-S_n=2¹+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=2ⁿ⁺¹（1-n）-2，
∴S_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的求和，著重考查等差關(guān)系的確定及錯(cuò)位相減法求和，求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵，屬于中檔題．