Question

17．已知數(shù)列{a_n}的遞推公式為$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}&{\;}\\{{a}_{n+1}=\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}}&{n∈{N}^{*}}\end{array}\right.$那么數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 通過對a_n+1=$\frac{{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$兩邊同時(shí)取倒數(shù)，進(jìn)而可知數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：依題意，$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2{a}_{n}+1}{{a}_{n}}$=2+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
又∵$\frac{1}{{a}_{1}}$=1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1為首項(xiàng)、2為公差的等差數(shù)列，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+2（n-1）=2n-1，
∴a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
又∵a₁=1滿足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=$\frac{1}{2n-1}$，
故答案為：a_n=$\frac{1}{2n-1}$．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，注意解題方法的積累，屬于中檔題．