Question

7．?dāng)?shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a（a≠0），前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+1=t•S_n +a（t≠0）．設(shè)b_n=S_n+1，c_n=k+b₁+b₂+…+b_n（k∈R⁺）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)t=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$時(shí)，是否存在正數(shù)a，k，使得{c_n}為等比數(shù)列，若存在求出a，k的值，若不存在說明理由；
（3）當(dāng)t=1時(shí)，若對任意n∈N^*，|b_n |≥|b₄|恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）在數(shù)列遞推式中取n=n-1，得到另一遞推式，作差后求得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列并求出公比，則數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）求出等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，代入b_n=S_n+1，再求出c_n=k+b₁+b₂+…+b_n，由{c_n}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式建立方程關(guān)系即可求出a，t的值．
（3）由t=1求得a_n，S_n，b_n，由|b_n|≥|b₄|恒成立，利用取n得特殊值及單調(diào)性求函數(shù)的最值求得a的取值范圍；

解答 解：（1）∵S_n+1=t•S_n+a①
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n=t•S_n-1+a②，
①-②得，a_n+1=t•a_n（n≥2），
又由S₂=t•S₁+a，得a₂=t•a₁，
∴{a_n}是首項(xiàng)為a，公比為t的等比數(shù)列，
∴${a_n}=a•{t^{n-1}}$（n∈N^*）；
（3）當(dāng)t≠1時(shí)，${S_n}=\frac{{a（1-{t^n}）}}{1-t}$，${b_n}=\frac{{a（1-{t^n}）}}{1-t}+1=1+\frac{a}{1-t}-\frac{{a{t^n}}}{1-t}$，
${c_n}=k+n+\frac{an}{1-t}-\frac{{at（1-{t^n}）}}{{{{（1-t）}^2}}}$=$\frac{{a{t^{n+1}}}}{{{{（1-t）}^2}}}+\frac{1+a-t}{1-t}•n+\frac{{k{{（1-t）}^2}-at}}{{{{（1-t）}^2}}}$，
∴當(dāng)$\left\{\begin{array}{l}\frac{1+a-t}{1-t}=0\;\\ \frac{{k{{（1-t）}^2}-at}}{{{{（1-t）}^2}}}=0\end{array}\right.$時(shí)，數(shù)列{c_n}是等比數(shù)列，∴$\left\{\begin{array}{l}a=t-1\;\\ k=\frac{t}{t-1}\;\end{array}\right.$，
當(dāng)$t=\frac{{\sqrt{5}+1}}{2}$時(shí)，a=$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$-1=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，k=$\frac{\frac{\sqrt{5}+1}{2}}{\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1}$=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，
從而當(dāng)$a=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$，$k=\frac{{\sqrt{5}+3}}{2}$時(shí)，數(shù)列{c_n}為等比數(shù)列．
（3）當(dāng)t=1時(shí)，a_n=a，S_n=na，b_n=na+1，
由|b_n|≥|b₄|，得|na+1|≥|4a+1|，
平方得n²a²+2na+1≥16a²+8a+1，
即（n²-16）a²+2（n-4）a≥0，
即（n-4）a[（n+4）a+2]≥0（*） 
當(dāng)a＞0時(shí)，n＜4時(shí)，（*）不成立；
當(dāng)a＜0時(shí)，（*）等價(jià)于（n-4）[（n+4）a+2]≤0（**）
n=4時(shí)，（**）成立．
n≥4時(shí)，有（n+4）a+2≤0，即a≤-$\frac{2}{n+4}$恒成立，
∵-$\frac{2}{n+4}$≥-$\frac{1}{4}$，
∴a≤-$\frac{1}{4}$，
n=1時(shí)，有5a+2≥0，a≥$-\frac{2}{5}$．n=2時(shí)，有6a+2≥0，a≥-$\frac{1}{3}$
當(dāng)n=3時(shí)，7a+2≥0，得a≥-$\frac{2}{7}$． 
綜上，-$\frac{2}{7}$≤a≤-$\frac{1}{4}$．
即a的取值范圍是[-$\frac{2}{7}$，-$\frac{1}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題是數(shù)列與不等式的綜合題，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列的求和方法，考查了運(yùn)算能力，屬難度較大的題目．