【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，然后求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，與定義域取交集可得出答案；

（2）利用三角函數(shù)圖象變換得出，解出不等式的解集，可得知對(duì)中的任意一個(gè)，每個(gè)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)整數(shù)使得，從而得出結(jié)論.

（1）.

令，解得，

所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，

，因此，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，

再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，

由，

對(duì)于中的任意一個(gè)，區(qū)間長(zhǎng)度始終為，大于，

每個(gè)區(qū)間至少含有一個(gè)整數(shù)，

因此，存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，曲線(xiàn)C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系.

（1）求曲線(xiàn)C的極坐標(biāo)方程；

（2）過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)C相交于M，N兩點(diǎn)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)的距離之和為．

（1）求點(diǎn)的軌跡方程，并在答題卡所示位置畫(huà)出方程的曲線(xiàn)草圖；

（2）（理）記（1）得到的軌跡為曲線(xiàn)，問(wèn)曲線(xiàn)上關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的不同點(diǎn)有幾對(duì)？請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）（文）記（1）得到的軌跡為曲線(xiàn)，若曲線(xiàn)上恰有三對(duì)不同的點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某人上午7時(shí)乘船出發(fā)，以勻速海里/小時(shí) 從港前往相距50海里的港，然后乘汽車(chē)以勻速千米/小時(shí)()自港前往相距千米的市，計(jì)劃當(dāng)天下午4到9時(shí)到達(dá)市.設(shè)乘船和汽車(chē)的所要的時(shí)間分別為、小時(shí)，如果所需要的經(jīng)費(fèi) (單位：元)

(1)試用含有、的代數(shù)式表示；

(2)要使得所需經(jīng)費(fèi)最少，求和的值，并求出此時(shí)的費(fèi)用.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)數(shù)列，對(duì)任意都有，（其中k、b、p是常數(shù)）．

（1）當(dāng)，，時(shí)，求；

（2）當(dāng)，，時(shí)，若，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）若數(shù)列中任意（不同）兩項(xiàng)之和仍是該數(shù)列中的一項(xiàng)，則稱(chēng)該數(shù)列是“封閉數(shù)列”．當(dāng)，，時(shí)，設(shè)是數(shù)列的前n項(xiàng)和，，試問(wèn)：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使得對(duì)任意，都有，且．若存在，求數(shù)列的首項(xiàng)的所有取值；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】四棱錐S-ABCD的底面為正方形，，AC與BD交于E，M，N分別為SD，SA的中點(diǎn)，.

（1）求證：平面平面SBD；

（2）求直線(xiàn)BD與平面CMN所成角的大小.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】近年，國(guó)家逐步推行全新的高考制度.新高考不再分文理科，某省采用模式，其中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)三科為必考科目，每門(mén)科目滿(mǎn)分均為分.另外考生還要依據(jù)想考取的高校及專(zhuān)業(yè)的要求，結(jié)合自己的興趣愛(ài)好等因素，在思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物門(mén)科目中自選門(mén)參加考試（選），每門(mén)科目滿(mǎn)分均為分.為了應(yīng)對(duì)新高考，某高中從高一年級(jí)名學(xué)生（其中男生人，女生人）中，采用分層抽樣的方法從中抽取名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，其中，女生抽取人.

（1）求的值；

（2）學(xué)校計(jì)劃在高一上學(xué)期開(kāi)設(shè)選修中的“物理”和“地理”兩個(gè)科目，為了了解學(xué)生對(duì)這兩個(gè)科目的選課情況，對(duì)抽取到的名學(xué)生進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（假定每名學(xué)生在“物理”和“地理”這兩個(gè)科目中必須選擇一個(gè)科目且只能選擇一個(gè)科目），下表是根據(jù)調(diào)查結(jié)果得到的一個(gè)不完整的列聯(lián)表，請(qǐng)將下面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有的把握認(rèn)為選擇科目與性別有關(guān)？說(shuō)明你的理由；

選擇“物理”

選擇“地理”

總計(jì)

男生

女生

總計(jì)

（3）在抽取到的名女生中，按（2）中的選課情況進(jìn)行分層抽樣，從中抽出名女生，再?gòu)倪@名女生中抽取人，設(shè)這人中選擇“物理”的人數(shù)為，求的分布列及期望.附：，

0.05

0.01

0.005

0.001

3.841

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，曲線(xiàn)由兩個(gè)橢圓：和橢圓：組成，當(dāng)成等比數(shù)列時(shí)，稱(chēng)曲線(xiàn)為“貓眼曲線(xiàn)”.

（1）若貓眼曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且的公比為，求貓眼曲線(xiàn)的方程；

（2）對(duì)于題（1）中的求貓眼曲線(xiàn)，任作斜率為且不過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與該曲線(xiàn)相交，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N，求證：為與無(wú)關(guān)的定值；

（3）若斜率為的直線(xiàn)為橢圓的切線(xiàn)，且交橢圓于點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正方體中，、分別是棱、的中點(diǎn)，、分別是線(xiàn)段與上的點(diǎn)，則與平面平行的直線(xiàn)有（ ）

A.0條B.1條C.2條D.無(wú)數(shù)條

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