Question

已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²+2x．
（1）求f（0）的值；
（2）求此函數(shù)在R上的解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由奇函數(shù)的性質(zhì)得出f（-x）=-f（x），令x=0代入可求f（0）；
（2）設(shè)x＜0，從而-x＞0，代入當(dāng)x＞0時(shí)的表達(dá)式f（x）=x²+2x可得x＜0時(shí)的表達(dá)式．

解答： （1）∵函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），f（0）=-f（0）
∴f（0）=0；
（2）設(shè)x＜0，∴-x＞0，
又當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）=x²+2x．
∴f（-x）=（-x）²+2（-x）=x²-2x，
∴-f（x）=x²-2x，
∴f（x）=-x²+2x，
∴當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）=-x²+2x，
又由（1）知f（0）=0
∴f(x)=

x2+2x，x＞0 0，x=0 -x2+2x，x＜0

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)解析式的求法，如果函數(shù)具備奇偶性，通�？紤]函數(shù)的奇偶性在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的關(guān)系解決．