Question

14．若f（x）+${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=x，則${∫}_{0}^{1}$f（x）dx=．

Answer 1

分析 對(duì)已知等式兩邊求導(dǎo)，得到f'（x）=1，所以設(shè)f（x）=x+c，利用已知等式求出c，得到所求．

解答 解：對(duì)f（x）+∫₀¹f（x）dx=x兩邊求導(dǎo)，得到f'（x）=1，所以設(shè)f（x）=x+c，
由已知x+c+（$\frac{1}{2}$x²+cx）|${\;}_{0}^{1}$=x，解得c=-$\frac{1}{4}$，
所以${∫}_{0}^{1}f（x）dx={∫}_{0}^{1}（x-\frac{1}{4}）dx$=（$\frac{1}{2}{x}^{2}-\frac{1}{4}x$）|${\;}_{0}^{1}$=$\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$；
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了定積分的計(jì)算；解答本題的關(guān)鍵是利用求導(dǎo)求出f（x）．