Question

6．已知 {a_n}是各項都為正數(shù)的數(shù)列，其前 n項和為 S_n，且S_n為a_n與$\frac{1}{a_n}$的等差中項．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{S_n²}為等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅲ）設b_n=$\frac{{{{（-1）}^n}}}{a_n}$，求{b_n}的前100項和．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用已知條件化簡出${S}_{n}^{2}-{S}_{n-1}^{2}=1$，即可說明$\{S_n^{2}\}$是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．
（Ⅱ） 求出$S_n^{2}=1+n-1=n$，通過a_n=S_n-S_n-1（n≥2求出通項公式．
（Ⅲ）化簡$_{n}=\frac{{（-1）}^{n}}{{a}_{n}}$，直接求出前100項和即可．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由題意知$2{S_n}={a_n}+\frac{1}{a_n}$，即$2{S_n}{a_n}-{a_n}^2=1$，①----------------------（1分）
當n=1時，由①式可得S₁=1；----------------------（2分）
又n≥2時，有a_n=S_n-S_n-1，代入①式得$2{S_n}（{S_n}-{S_{n-1}}）-{（{S_n}-{S_{n-1}}）^2}=1$
整理得${S}_{n}^{2}-{S}_{n-1}^{2}=1$．----------------------（3分）
∴$\{S_n^{2}\}$是首項為1，公差為1的等差數(shù)列．----------------------（4分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得$S_n^{2}=1+n-1=n$，----------------------（5分）
∵{a_n}是各項都為正數(shù)，∴${S_n}=\sqrt{n}$，----------------------（6分）
∴${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$（n≥2），----------------------（7分）
又${a_1}=S_1^{\;}=1$，∴${a_n}=\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$．----------------------（8分）
（Ⅲ）${b_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{a_n}=\frac{{{{（-1）}^n}}}{{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}}={（-1）^n}（{\sqrt{n}+\sqrt{n-1}}）$，----------------------（10分）${T_{100}}=-1+（\sqrt{2}+1）-（\sqrt{3}+\sqrt{2}）+…-（\sqrt{99}+\sqrt{98}）+（\sqrt{100}+\sqrt{99}）=10$
∴{b_n}的前100項和T₁₀₀=10．----------------------（12分）

點評 本題考查數(shù)列的遞推關系式的應用，通項公式的求法，數(shù)列求和，考查分析問題解決問題的能力．