Question

對(duì)于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0）．
定義：（1）設(shè)f″（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y=f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”；
己知g（x）=x³-3a²x+2a，h（x）=

1

2

x2-ln（1+x²）請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
（1）求函數(shù)g（x）的“拐點(diǎn)”的坐標(biāo)
（2）寫(xiě)出一個(gè)三次函數(shù)ϕ（x），使得它的“拐點(diǎn)”是（-1，3）（不要寫(xiě)過(guò)程）
（3）判斷是否存在實(shí)數(shù)a，當(dāng)a≥1時(shí)，使得對(duì)于任意x₀，x₁∈[0，1]，g（x₀）≥h（x₁）恒成立，若不存在說(shuō)明理由，存在則求出a的所有的可能取值．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）依據(jù)“拐點(diǎn)”的定義直接計(jì)算即可；
（2）按照拐點(diǎn)的定義，逆推回去，即可得到一個(gè)拐點(diǎn)為（-1，3）的函數(shù)，可從冪函數(shù)入手；
（3）由題意“對(duì)于任意x₀，x₁∈[0，1]，g（x₀）≥h（x₁）恒成立”，只需保證g（x₀）_min≥h（x₁）_max即可，由此求出a的值．

解答： 解：（1）依題意，得f′（x）=3x²-3a²，
f″（x）=6x，令f″（x）=0，得x=0，
又f（0）=2a，所以g（x）的“拐點(diǎn)”為（0，2a）
（2）φ（x）=a（x+1）³+b（x+1）+3 （a≠0）（也可以據(jù)此給定a，b的值，寫(xiě)出幾個(gè)關(guān)于x的函數(shù)）；
（3）g′（x）=3（x²-a²）
因此a≥1，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，g′（x）＜3（1-a²）≤0
所以當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，g（x）是減函數(shù)
又g（1）=1+2a-3a²，g（0）=2a，即當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，
g（x）∈[1+2a-3a²，2a]，
h（x）=

1

2

x2-ln(1+x2)，由h′（x）=x-

2x

1+x2

=

x3-x

1+x2

當(dāng)x₁∈[0，1]時(shí)，h′（x）≤0，所以h（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，
又h（0）=0，h（1）=

1

2

-ln2，
所以h（x₁）∈[

1

2

-ln2，0]．
若對(duì)于任意的x₀，x₁∈[0，1]，使得g（x₀）≥h（x₁）恒成立，
即有1+2a-3a²≥0恒成立，解得-

1

3

≤a≤1，
又a≥1，故僅存在a=1使得對(duì)于任意的x₀，x₁∈[0，1]
g（x₀）≥h（x₁）恒成立．

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于函數(shù)的拐點(diǎn)，應(yīng)該屬于大學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，在這里考查主要是考查學(xué)生對(duì)新定義的理解與接受能力，要求較高，同時(shí)只有深刻理解導(dǎo)數(shù)的概念和性質(zhì)在研究函數(shù)中的作用的基礎(chǔ)上，才能較好的處理本題目．