Question

已知f（x）=（x+1）（x+2）（x+3）…（x+n），（n≥2，n∈N），其導函數(shù)為f′（x），設(shè)a_n=

f′(-2)

f(0)

，則a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀=

 

．

Answer 1

考點：二項式定理的應用,導數(shù)的運算

專題：二項式定理

分析：設(shè)h（x）=（x+1）（x+3）…（x+n）（n≥2，n∈N^*），則f（x）=h（x）（x+2），求得f′（-2）=-（n-2）!，f（0）=n!，可得a_n=

f′(-2)

f(0)

=-

1

n(n-1)

，再利用裂項法求得a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀的值．

解答： 解：設(shè)h（x）=（x+1）（x+3）…（x+n）（n≥2，n∈N^*），∴f（x）=h（x）（x+2），
∴f′（x）=h′（x）（x+2）+h（x），
∴f′（-2）=h′（-2）（-2+2）+h（-2）=h（-2）
=（-2+1）（-2+3）（-2+4）+…+（-2+n）=-1×1×2×…×（n-2）=-（n-2）!，
∴f（0）=1×2×3×…×n=n!，
∴a_n=

f′(-2)

f(0)

=

-(n-2)!

n!

=-

1

n(n-1)

，
∴a₂+a₃+a₄+…+a₁₀₀=-[

1

2×1

+

1

3×2

+

1

4×3

+…+

1

100×99

]=-[1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

99

-

1

100

]=-[1-

1

100

]=-0.99，
故答案為：-0.99．

點評：本題主要考查了導數(shù)運算法則，用裂項法求數(shù)列的和，關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，屬于中檔題．