Question

8．求函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x在[1，+∞）上的最大值．

Answer 1

分析 將f（x）運(yùn)用分子常數(shù)化，可得f（x）=$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$，考慮分母的單調(diào)性，即可得到f（x）的單調(diào)性，可得最大值．

解答 解：f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x
=$\frac{（\sqrt{1+{x}^{2}}+x）（\sqrt{1+{x}^{2}}-x）}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$
=$\frac{1+{x}^{2}-{x}^{2}}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$=$\frac{1}{\sqrt{1+{x}^{2}}+x}$，
由于y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$和y=x在[1，+∞）上遞增，
可得y=$\sqrt{{x}^{2}+1}$+x在[1，+∞）上遞增，
則函數(shù)f（x）=$\sqrt{{x}^{2}+1}$-x在[1，+∞）上遞減，
可得當(dāng)x=1時，f（x）取得最大值為f（1）=$\sqrt{2}$-1．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用分子常數(shù)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，考查化簡運(yùn)算能力，屬于中檔題．