Question

已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，a₃•a₅=64
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=log₂a_n，求數(shù)列{a_n+1•b_n+1}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）b_n=log₂a_n=n-1，可得a_n+1•b_n+1=n•2ⁿ．利用“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}的公比q＞0，
∵a₂=2，a₃a₅=64，∴a₁q=2，a1q2•a1q4=64，解得q=2，a₁=1．
∴an=2n-1．
（2）b_n=log₂a_n=n-1，
∴a_n+1•b_n+1=n•2ⁿ．
∴T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
2T_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=2×

2n-1

2-1

-n•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

點(diǎn)評：本題考查了“錯位相減法”和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．