如圖，在平面直角坐標系xoy中，橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
1
2
，過橢圓由焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD．當直線AB斜率為0時，弦AB長4．
（1）求橢圓的方程；
（2）若|AB|+|CD|=
48
7
．求直線AB的方程．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質與方程
分析：（1）e=
c
a
=
1
2
，2a=4，又a2=b2+c2，解得：a=2，b=
3
，即可求出橢圓的方程；
（2）分類討論，將直線AB，CD方程代入橢圓方程中，求出|AB|，|CD|，利用|AB|+|CD|=
48
7
，求出k，即可求直線AB的方程．
解答： 解：（1）由題意知e=
c
a
=
1
2
，2a=4，又a2=b2+c2，解得：a=2，b=
3
，所以橢圓方程為：
x2
4
+
y2
3
=1．--------（6分）
（2）①當兩條弦中一條斜率為0時，另一條弦的斜率不存在，由題意知|AB|+|CD|=7，不滿足條件；
②當兩弦斜率均存在且不為0時，設直線AB的方程為y=k（x-1），
則直線CD的方程為y=-
1
k
(x-1)．
將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，
則x1+x2=
8k2
3+4k2
，x1•x2=
4k2-12
3+4k2
，所以|AB|=
k2+1
|x1-x2|=
12(k2+1)
3+4k2
．
同理，|CD|=
12(
1
k2
+1)
3+
4
k2
=
12(k2+1)
3k2+4
．
所以|AB|+|CD|=
12(k2+1)
3+4k2
+
12(k2+1)
3k2+4
=
84(k2+1)2
(3+4k2)(3k2+4)
=
48
7

解得k=±1，所以直線AB方程為x-y-1=0或x+y-1=0．-------（12分）
點評：本題考查橢圓非常，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（1）求函數(shù)f（x）=（x-
1
2
）0+
1
x+2
的定義域；
（2）已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，且f（x+1）+f（x）=2x2-4x+4，求f（x）的表達式；
（3）求函數(shù)f（x）=x-
1-2x
的值域．

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求下列函數(shù)值域y=
2x2+2x+5
x2+x+1
（1≤x≤2）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

解關于a1，q的方程組：
a1q4-a1=15
a1q3-a1q=6
．

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已知橢圓中心在原點，左焦點與雙曲線x2-y2=2的左頂點重合，離心率e=
6
3
．
（Ⅰ）求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）已知直線l與橢圓相交于P，Q兩點，O為坐標原點，若OP⊥OQ，試探究點O到直線l的距離是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
（a＞b＞0）的離心率
2
2
，橢圓上任意一點到右焦點F的距離的最大值為
2
+1，過M（2，0）任作一條斜率為k（k≠0）的直線l與橢圓交與不同的兩點A、B，點A關于x軸的對稱點為Q．
（1）當k=-
3
3
時，求證：Q、F、B三點共線；
（2）求△MBQ面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

直線l交橢圓
x2
16
+
y2
12
=1于A，B兩點，若AB的中點為M=（2，1），則l的方程為（　�。�
A、2x-3y-1=0
B、3x-2y-4=0
C、2x+3y-7=0
D、3x+2y-8=0

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a=
x2-xy+y2
，b=p
xy
，c=x+y，若對任意正實數(shù)x，y都存在以a，b，c為三邊的三角形，則實數(shù)p的取值范圍是（　�。�
A、（1，3）
B、（0，1）∪（3，+∞）
C、（2，4）
D、（2，3）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

方程x3+ax2+（a2+2）x=0（a為實數(shù)）的實數(shù)根的個數(shù)是
 
．

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