Question

8．在△ABC中，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，b=2，則a+c（　�。�

• A． 有最小值4
• B． 有最大值4
• C． 有最小值2
• D． 有最大值2

Answer 1

分析 由已知及等比數(shù)列的性質(zhì)可得sin²B=sinAsinC，由正弦定理可得：b²=ac=4，利用余弦定理，可得（a+c）²=8cosB+12，根據(jù)余弦定理，基本不等式可求cosB≥$\frac{1}{2}$，從而可求a+c有最小值4．

解答 解：∵sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，可得：sin²B=sinAsinC，b=2，
∴由正弦定理可得：b²=ac=4，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{8}$，整理可得：a²+c²-4=8cosB，
∴（a+c）²=8cosB+12，
又∵a²+c²≥2ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-ac}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∴（a+c）²=8cosB+12≥16，
∴a+c≥4，即a+c有最小值4．
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，正弦定理，余弦定理，基本不等式在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題．