Question

3．已知函數(shù)f（x）=xlnx+a，直線(xiàn)y=x與曲線(xiàn)y=f（x）相切．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）證明：xe^x-1[f（x）-2]+f（x）≥0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），求出導(dǎo)數(shù)，求得切線(xiàn)的斜率和切點(diǎn)，由切線(xiàn)的方程，可得m=1，進(jìn)而得到切點(diǎn)，可得a=1；
（Ⅱ）由xe^x-1[f（x）-2]+f（x）=xe^x-1（xlnx-1）+xlnx+1=（1+xe^x-1）（xlnx-1）+2，令g（x）=（1+xe^x-1）（xlnx-1）+2，求出導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間、極小值且為最小值0，即可得證．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)為（m，n），
f（x）=xlnx+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=lnx+1，
可得切線(xiàn)的斜率為1+lnm，
由切線(xiàn)的方程y=x，可得1+lnm=1，即m=1，
切點(diǎn)為（1，1），可得a=1；
（Ⅱ）證明：xe^x-1[f（x）-2]+f（x）=xe^x-1（xlnx-1）+xlnx+1
=（1+xe^x-1）（xlnx-1）+2，
令g（x）=（1+xe^x-1）（xlnx-1）+2，
g′（x）=（1+x）e^x-1（xlnx-1）+（1+xe^x-1）（1+lnx）
當(dāng)x=1時(shí)，g′（x）=2•（-1）+2•1=0，
當(dāng)x＞1時(shí)，（1+x）e^x-1＞2，xlnx-1＞-1，
（1+x）e^x-1（xlnx-1）＞-2，
（1+xe^x-1）（1+lnx）＞2•1=2，
則g′（x）＞0，g（x）遞增；
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，（1+x）e^x-1（xlnx-1）＜-2，
（1+xe^x-1）（1+lnx）＜2，
則g′（x）＜0，g（x）遞減．
即有g(shù)（x）在x=1處取得極小值，且為最小值0．
則有xe^x-1[f（x）-2]+f（x）≥0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線(xiàn)的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運(yùn)用構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間和最值，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．