【題目】如圖,在四凌錐S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,SA⊥CD,AB⊥平面SAD,M是SC的中點(diǎn),且SA=AB=BC=2,AD=1.

(1)求證:DM∥平面SAB;
(2)求四棱錐S﹣ABCD的體積.

【答案】
(1)證明:如圖,

取SB的中點(diǎn)N,連接AN、MN,

∵點(diǎn)M是SC的中點(diǎn),∴MN∥BC,且BC=2MN,

∵底面ABCD是直角梯形,AB垂直于AD,AB⊥BC,BC=2,AD=1,

∴AD∥BC,且BC=2AD,∴MN∥AD,且MN=AD,

∴四邊形MNAD是平行四邊形,∴DM∥AN,

∵DM面SAB,AN面SAB,∴DM∥平面SAB


(2)解:∵AB⊥底面SAD,SA底面SAD,AD底面SAD,

∴AB⊥SA,AB⊥AD,∵SA⊥CD,AB、CD是平面ABCD內(nèi)的兩條相交直線,

∴側(cè)棱SA⊥底面ABCD,又在四棱錐S﹣ABCD中,側(cè)棱SA⊥底面ABCD,

底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,SA=AB=BC=2,AD=1,


【解析】(1)要證DM∥平面SAB,可取SB的中點(diǎn)N,連接AN、MN,利用中位線知識(shí)及已知條件證明四邊形MNAD是平行四邊形,從而得到DM∥AN,由線面平行的判定得證;(2)由AB⊥平面SAD,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)得到SA⊥AB,再由已知SA⊥CD,利用線面垂直的判定得SA⊥底面ABCD,由直角梯形的面積公式求出底面積,直接代入棱錐體積公式得答案.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用直線與平面平行的判定,掌握平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行;簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行即可以解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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