Question

2．已知向量$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}），\overrightarrow b=（{cosβ，sinβ}）$，且向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$滿足關系式：$|{k\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+k\overrightarrow b}|$，其中k＞0．
（1）求證：$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$；
（2）試用k表示$\overrightarrow a•\overrightarrow b$，求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值，并求此時向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角．

Answer 1

分析 （1）由已知向量的坐標求得$\overrightarrow{a}+\overrightarrow、\overrightarrow{a}-\overrightarrow$的坐標，然后由數量積為0證得答案；
（2）把已知的向量等式兩邊平方，代入向量$\overrightarrow{a}、\overrightarrow$的模，即可得到$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{{{k^2}+1}}{4k}≤-\frac{1}{2}$，進一步由數量積求夾角公式求得向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角．

解答 （1）證明：∵$\overrightarrow a=（{cosα，sinα}），\overrightarrow b=（{cosβ，sinβ}）$，
∴$\overrightarrow{a}+\overrightarrow=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）$，$\overrightarrow{a}-\overrightarrow=（cosα-cosβ，sinα-sinβ）$，
∴$（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}-\overrightarrow）$=（cosα+cosβ）（cosα-cosβ）+（sinα+sinβ）（sinα-sinβ）
=cos²α-cos²β+sin²α-sin²β=0．
∴：$（{\overrightarrow a+\overrightarrow b}）⊥（{\overrightarrow a-\overrightarrow b}）$；
（2）∵$|{k\overrightarrow a-\overrightarrow b}|=\sqrt{3}|{\overrightarrow a+k\overrightarrow b}|$，
∴$（k\overrightarrow{a}-\overrightarrow）^{2}=3（\overrightarrow{a}+k\overrightarrow）^{2}$，即${k}^{2}|\overrightarrow{a}{|}^{2}-2k\overrightarrow{a}•\overrightarrow+|\overrightarrow{|}^{2}$=$3|\overrightarrow{a}{|}^{2}+6k\overrightarrow{a}•\overrightarrow+3{k}^{2}|\overrightarrow{|}^{2}$，
整理得$\overrightarrow a•\overrightarrow b=-\frac{{{k^2}+1}}{4k}≤-\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值為$-\frac{1}{2}$，此時k=1，
設向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夾角為θ，則cosθ=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=-\frac{1}{2}$，
夾角$θ=\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查平面向量的數量積運算，考查了數量積的坐標表示，訓練了利用數量積求斜率的夾角，是中檔題．