7.已知數(shù)列{an}的首項為a1=1,且滿足對任意的n∈N*,都有an+1-an≤2n,an+2-an≥3×2n成立,則a2015=( 。
A.22006-1B.22006+1C.22015+1D.22015-1

分析 由an+2-an≥3×2n,得an+2-an+1+an+1-an≥3×2n,結(jié)合an+1-an≤2n得an+1-an+2≥-2×2n,則得到an+1-an≥2n,進一步得到an+1-an=2n.然后利用累加法求出數(shù)列{an}的通項公式,則答案可求.

解答 解:由an+2-an≥3×2n,得
an+2-an+1+an+1-an≥3×2n ①,
且${a}_{n+2}-{a}_{n+1}≤2×{2}^{n}$,
即${a}_{n+1}-{a}_{n+2}≥-2×{2}^{n}$  ②,
①+②得:an+1-an≥2n,
又an+1-an≤2n
∴${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$.
∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1
=2n-1+2n-2+…+22+21+1
=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=2n-1.
∴a2015=22015-1.
故選:D.

點評 本題考查了數(shù)列遞推式,考查了數(shù)列與不等式的綜合,訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項公式,由兩不等式聯(lián)立得到${a}_{n+1}-{a}_{n}={2}^{n}$是解答該提的關(guān)鍵,是中檔題.

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