已知點(diǎn)F1、F2分別為
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左右焦點(diǎn)，P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，若
|PF2|2
|PF1|
的最小值為9a，則這個(gè)雙曲線的離心率為
 
．
考點(diǎn)：雙曲線的簡單性質(zhì)
專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：運(yùn)用雙曲線的定義可得|PF2|=|PF1|+2a，令|PF1|=t（t≥c-a），則
|PF2|2
|PF1|
=
(t+2a)2
t
=
t2+4ta+4a2
t
=t+
4a2
t
+4a，先運(yùn)用基本不等式檢驗(yàn)等號成立的條件，再由單調(diào)性求得最小值，即可得到離心率．
解答： 解：由P為雙曲線左支上的任意一點(diǎn)，
則|PF2|-|PF1|=2a，
即有|PF2|=|PF1|+2a，
令|PF1|=t（t≥c-a），
則
|PF2|2
|PF1|
=
(t+2a)2
t
=
t2+4ta+4a2
t
=t+
4a2
t
+4a，
若t+
4a2
t
+4a≥2
t•
4a2
t
+4a=8a，
當(dāng)且僅當(dāng)t=2a時(shí)，取最小值8a，則由題意可得，c-a≤2a，即有c≤3a．
故[c-a，+∞）是增區(qū)間，即有c-a+
4a2
c-a
+4a=9a，
化簡得，10a2-7ac+c2=0，
解得c=2a（舍去）或c=5a．
則離心率為e=
c
a
=5．
故答案為：5．
點(diǎn)評：本題考查雙曲線的方程、定義和性質(zhì)，考查離心率的求法，同時(shí)求函數(shù)的最值，注意運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

雙曲線
x2
9
-
y2
b2
=1（b＞0）的一條漸近線方程為y=
2
3
x，則雙曲線的離心率等于（　�。�
A、
5
3
B、
5
3
C、C、
D、
13
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)f（x）=min{-x+6，-2x2+4x+6}（min{a，b}表示取a，b中較小值），則f（x）的最大值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，且在[0，+∞）上為增函數(shù)，問：是否存在m使f（x2-3）+f（2m-3x）＞f（0）對任意x∈[0，1]都成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知直線y=kx+3與曲線x2+y2-2xcosα+2（1+sinα）（1-y）=0有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

己知函數(shù)f（x）=
10x-99
x-10
，{an}為a1=1，d=2的等差數(shù)列，則f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a10）=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=2，任取a，b∈[-1，1]，a+b≠0，都有
f(a)+f(b)
a+b
＞0成立．
（1）證明函數(shù)f（x）在[-1，1]上是單調(diào)增函數(shù)．
（2）解不等式f（x）＜f（x2）．
（3）若對任意x∈[-1，1]，函數(shù)f（x）≤2m2-2am+3對所有的a∈[0，
3
2
]恒成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)偶函數(shù)y=f（x），對任意實(shí)數(shù)x∈R都有f（x）=f（x+4），當(dāng)x∈[0，4]時(shí)，函數(shù)f（x）=ax2+x+b2-b-
11
4
（a∈R，b∈R），且當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，f（x）＜0恒成立，則b的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

將一個(gè)半徑為R的藍(lán)球放在地面上，被陽光斜照留下的影子是橢圓．若陽光與地面成60°角，則橢圓的離心率為
 
．

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同步練習(xí)冊答案