Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為B，△BF₁F₂是等邊三角形，橢圓C上的點(diǎn)到F₁的距離的最大值為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過F₁任意作一條直線l交橢圓C于M、N兩點(diǎn)（均不是橢圓的頂點(diǎn)），設(shè)直線AM與直線l0x=-4交于P點(diǎn)，直線AN與l0交于Q點(diǎn)，請(qǐng)判斷點(diǎn)F₁與以線段PQ為直徑的圓 的位置關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意列出關(guān)于a、c的方程組，求出a、c的值，再基本量的關(guān)系式求出b²代入橢圓方程即可；
（2）根據(jù)直線l的斜率分兩種情況，先判斷斜率不存在的情況；當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程是y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立消去y化簡后，由向量共線的條件求出P、Q的縱坐標(biāo)，由韋達(dá)定理、向量的數(shù)量積運(yùn)算化簡

F1P

•

F1Q

即可．

解答： 解：（1）由題意得，

a=2c a+c=3

，解得a=2、c=1，則b²=4-1=3，
所以橢圓的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）由（1）得F₁（-1，0），
①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，得M（-1，

3

2

），N（-1，-

3

2

），
由P、A、M三點(diǎn)共線得

AM

∥

AP

，P（-4，-3），同理可得Q（-4，3），
由

F1P

•

F1Q

=（-3，-3）•（-3，3）=0知，點(diǎn)F₁在以線段PQ為直徑的圓；
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程是y=k（x+1），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（-4，y_p），Q（-4，y_Q），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x+1)

得，（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，
則x1+x2=

-8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

，
由A（-2，0），M（x₁，y₁），P三點(diǎn)共線得

AM

∥

AP

，
∵

AM

=（x₁+2，y₁），

AP

=（-2，y_p），∴y_p（x₁+2）+2y₁=0，
解得y_p=

-2y1

x1+2

，同理可得y_Q=

-2y2

x2+2

，
∵

F1P

=(-3，yP)，

F1Q

=(-3，yQ)，
∴

F1P

•

F1Q

=9+

4y1y2

(x1+2)(x2+2)

=9+

4k2(x1+1)(x2+1)

(x1+2)(x2+2)

=9+4k²•

4k2-12 3+4k2 +1- 8k2 3+4k2

4k2-12 3+4k2 +4- 16k2 3+4k2

=9+4k²•（-

9

4k2

）=0，
所以點(diǎn)F₁在以線段PQ為直徑的圓；
綜上可得，點(diǎn)F₁在以線段PQ為直徑的圓．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì)，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的運(yùn)算，向量共線、垂直的條件，以及直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用問題，注意直線的斜率問題，考查化簡、計(jì)算能力，考查轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想．