Question

4．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足條件：f（0）=1，f（x+1）-f（x）=2x．
（1）求f（x）；      
（2）求f（x）在區(qū)間[-1，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）設f（x）=ax²+bx+c，則f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b，根據(jù)對應項的系數(shù)相等可分別求a，b，c．
（2）對函數(shù)進行配方，結合二次函數(shù)在[-1，1]上的單調性可分別求解函數(shù)的最值．

解答 解：（1）由f（x）=ax²+bx+c，
則f（x+1）-f（x）=a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2ax+a+b
∴由題意得 $\left\{\begin{array}{l}{c=1}\\{2ax+a+b=2x}\end{array}\right.$恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=2}\\{a+b=0}\\{c=1}\end{array}\right.$，得  $\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=-1}\\{c=1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）f（x）=x²-x+1=（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{3}{4}$在[-1，$\frac{1}{2}$]單調遞減，在[$\frac{1}{2}$，1]單調遞增
∴f（x）min=f（$\frac{1}{2}$）=$\frac{3}{4}$，f（x）_max=f（-1）=3．

點評 本題主要考查了利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，及二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的求解，要注意函數(shù)在所給區(qū)間上的單調性，一定不能直接把區(qū)間的端點值代入當作函數(shù)的最值．