Question

15．若F₁，F(xiàn)₂分別是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左右焦點，A為雙曲線的左頂點，以F₁，F(xiàn)₂為直徑的圓交雙曲線的一條漸近線于M，N兩點，且滿足∠MAN=120°，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{\sqrt{21}}{3}$

Answer 1

分析 首先寫出圓的標準方程，畫出圖形，結合圖形由方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\\{y=\frac{a}x}\end{array}\right.$即可寫出M，N兩點的坐標，并且知道向量$\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}$的夾角為120°，從而由cos∠MAN=$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}＞=-\frac{1}{2}$即可得到a，b的關系，再根據(jù)c²=a²+b²即可找到a，c的關系式，從而求出該雙曲線的離心率$\frac{c}{a}$．

解答 解：如圖，A（a，0），由已知條件知圓的方程為：x²+y²=c²；
∴由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{{x}^{2}+{y}^{2}={c}^{2}}\end{array}\right.$得：M（a，b），N（-a，-b）；
∴$\overrightarrow{AM}=（0，b），\overrightarrow{AN}=（-2a，-b）$；
又∠MAN=120°；
∴$cos＜\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{AN}＞$=$\frac{-^{2}}{\sqrt{4{a}^{2}+^{2}}•b}=-\frac{1}{2}$；
∴4a²=3b²；
∴4a²=3（c²-a²）；
∴7a²=3c²；
∴$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{21}}{3}$；
即雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{21}}{3}$．
故選：D．

點評 考查雙曲線的標準方程，雙曲線焦點的概念，以及圓的標準方程，雙曲線的漸近線的概念及漸近線的求法，雙曲線的離心率的概念及計算公式，向量夾角余弦的坐標公式．