Question

6．已知點P（x，y）的坐標滿足條件$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤1}\\{x+4y≤4}\\{x+y≥a}\end{array}\right.$，當(dāng)z=-2x+y取得最大值為1時，那么x²+y²的最小值為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 畫出可行域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤1}\\{x+4y≤4}\\{x+y≥a}\end{array}\right.$，當(dāng)a≤1時，其可行域為△ABC，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\{x+4y=4}\end{array}\right.$，解得M，當(dāng)z=-2x+y取得最大值為1時，把Mz坐標代入解得a=1．那么x²+y²的最小值為原點O到直線x+y=1的距離的平方，利用點到直線的距離公式即可得出．

解答 解：畫出可行域$\left\{\begin{array}{l}{x-2y≤1}\\{x+4y≤4}\\{x+y≥a}\end{array}\right.$，
當(dāng)a≤1時，其可行域為△ABC，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+y=a}\\{x+4y=4}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4a-4}{3}}\\{y=\frac{4-a}{3}}\end{array}\right.$，
當(dāng)z=-2x+y取得最大值為1時，
可得1=$-2×\frac{4a-4}{3}$+$\frac{4-a}{3}$，
解得a=1．
那么x²+y²的最小值為原點O到直線x+y=1的距離的平方，
即x²+y²=$（\frac{|0-1|}{\sqrt{2}}）^{2}$=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)a＞1時，不滿足條件，舍去．
故選：B．

點評 本題考查了線性規(guī)劃的有關(guān)知識、直線的交點、點到直線的距離公式，考查了分類討論思想方法、數(shù)形結(jié)合思想方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．