Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c，集合A={x|x=f（x），x∈R}，B={x|x=f（f（x）），x∈R}．
（1）證明：A⊆B；
（2）當A={-1，3}時，用列舉法求集合B；
（3）當A為單元集時，求證：A=B．

Answer 1

分析 （1）任取m∈A，有m=f（m），f（m）=f（f（m）），從而m=f（f（m）），問題得以證明；
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求出b，c的值，再代入化簡，解得即可；
（3）當A為單元集，意味著X=x²+bx+c只有唯一解，設(shè)為X₁，利用反證法，假設(shè)A=B成立，那么B={X₁}，經(jīng)過推理得到假設(shè)成立．

解答 解（1）∵集合A={x|x=f（x），x∈R}，
∴任取m∈A，有m=f（m），
∴f（m）=f（f（m）），
從而m=f（f（m）），
因此m∈B，A⊆B．
（2）∵A={-1，3}，將x=-1和3帶入x=x²+ax+b中，得
a-1=-（-1+3），即a=-1，
b=（-1）×3=-3；
故f（x）=x²-x-3
從而（x²-x-3）²-（x²-x-3）-3=x
移項（x²-x-3）²=x²
故x²-x-3=x或 x²-x-3=-x
x=-1，3或 x=$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$
故B={-1，3，$\sqrt{3}$，-$\sqrt{3}$}
（3）當A為單元集，意味著X=x²+bx+c只有唯一解，設(shè)為X₁，
即X₁=X₁²+bX₁+c，
B集合中，X=（x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c，
用假設(shè)法，假設(shè)A=B成立，那么B={X₁}，
將X₁代入X=（x²+bx+c）²+b（x²+bx+c）+c，
等式左邊是X₁，右邊是（X₁²+bX₁+c）²+a（X₁²+bX₁+c）+b，
因為X₁=X₁²+bX₁+c，
所以右式可簡化為X₁=X₁²+bX₁+c，
于是根據(jù)X₁=X₁²+bX₁+c，
左右相等，假設(shè)成立，
所以A=B．

點評 本題考查了元素和集合之間的包含關(guān)系，以及高次方程的解法，以及反證法，屬于中檔題．