Question

1．函數(shù)f（x）=|x-a|-|x-2a|（a＞0），若對(duì)?x∈R，都有f（2x）-1≤f（x），則實(shí)數(shù)a的最大值為$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由題意可得，|2x-a|+|x-2a|≤|x-a|+|2x-2a|+1恒成立，絕對(duì)值的“根”共有4個(gè)：$\frac{a}{2}$，a，a，2a，分類討論求得實(shí)數(shù)a的最大值．

解答 解：f（2x）-1≤f（x），（a＞0）恒成立，即|2x-a|-|2x-2a|-1≤|x-a|-|x-2a|恒成立，
即|2x-a|+|x-2a|≤3|x-a|+1恒成立．
此不等式中，絕對(duì)值的“根”共有4個(gè)：$\frac{a}{2}$，a，a，2a，
當(dāng)x＜$\frac{a}{2}$時(shí)，不等式即 a-2x+2a-x≤3a-3x+1，即0≤1．
當(dāng)$\frac{a}{2}$≤x＜a時(shí)，不等式即 2x-a+2a-x≤3a-3x+1，即4x≤2a+1，故有4a≤2a+1，即a$≤\frac{1}{2}$．
當(dāng)a≤x＜2a時(shí)，不等式即 2x-a+2a-x≤3x-3a+1，即 4a≤2x+1，故4a≤4a+1，可得0≤1．成立．
當(dāng)x≥2a時(shí)，不等式即 2x-a+x-2a≤3x-3a+1，即0≤1．
綜上可得，a≤$\frac{1}{2}$，故a的最大值為$\frac{1}{2}$，
故答案為：$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．