Question

11．設數列{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=n²，等比數列{b_n}滿足：b₂=2，b₅=16
（1）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）由數列的通項和前n項和的關系，可得an的通項，由等比數列的通項可得；
（2）由錯位相減法，可得數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

解答 解：（1）{a_n}的前n項和S_n滿足：S_n=n²，
n=1時，a₁=S₁=1，n＞1時，a_n=S_n-S_n-1=n²-（n-1）²=2n-1，
n=1也成立．
故a_n=2n-1，
等比數列{b_n}滿足：b₂=2，b₅=16，
q³=$\frac{_{5}}{_{2}}$=8，解得q=2．
則有b_n=b₂q^n-2=2^n-1；
（2）前n項和T_n=1•1+3•2+5•4+7•8+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=1•2+3•4+5•8+7•16+…+（2n-1）•2ⁿ，
兩式相減．得-T_n=1+2•2+2•4+2•8+2•16+…+2•2^n-1-（2n-1）•2ⁿ，
即有-T_n=1+$\frac{4（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ，
則有${T_n}=（2n-3）{2^n}+3$．

點評 本題考查數列的通項和前n項和的關系，同時考查等比數列的通項和求和公式，及數列的求和：錯位相減法，考查運算能力，屬于中檔題．