Question

設(shè)動點(diǎn)P在橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上且不在x軸上，A₁、A₂是橢圓C的左、右頂點(diǎn)，直線PA₁、PA₂的斜率的積為-

1

4

，F(xiàn)（-

3

，0）為橢圓C的一個焦點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若P在第一象限內(nèi)，直線l過點(diǎn)P且與橢圓C只有一個公共點(diǎn)，l與圓C′：x²+y²=4相交于兩點(diǎn)A、B，求△OAB的面積的最大值，及此時直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）求出c，再利用直線PA₁、PA₂的斜率的積為-

1

4

，求出a，b，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）確定直線l的方程為x₀x+4y₀y-4=0，求出O到直線l的距離，可得面積，利用基本不等式求最值，從而可得直線l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵F（-

3

，0）為橢圓C的一個焦點(diǎn)，
∴c=

3

，
設(shè)P（x₀，y₀），則
∵直線PA₁、PA₂的斜率的積為-

1

4

，
∴

y0

x0+a

•

y0

x0-a

=-

b2

a2

=-

1

4

，
∴a=2b，
∴b=1，a=2，
∴橢圓C的方程

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）在第一象限內(nèi)橢圓C可以改寫為y=

1

2

4-x2

（0＜x＜2），
∴y′=-

x

2 4-x2

，
∴直線l的斜率為k=-

x0

4y0

，方程為y-y₀=-

x0

4y0

（x-x₀），即x₀x+4y₀y-4=0
∵O到直線l的距離d=

4

4+12y02

（0＜y₀＜1），
∴1＜d＜2，
∴S_△OAB=

1

2

|AB|d=

4-d2

•d≤

4-d2+d2

2

=2，
當(dāng)且僅當(dāng)4-d²=d²，即d=

2

時，△OAB的面積的最大值為2，
由d=

4

4+12y02

=

2

，解得y₀=

3

3

，x₀=

2 6

3

，
∴直線l的方程為x+

2

y-

6

=0．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程，考查三角形面積的計算，考查基本不等式的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．