Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a

2

x²
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（3，f（3））處的切線方程；
（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求曲線y=f（x）在點(diǎn)P（3，f（3））處的切線方程；
（2）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，討論a的取值范圍，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=

1

3

x³-x²，
則函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-2x，
則曲線y=f（x）在點(diǎn)P（3，f（3））處的切線斜率k=f′（3）=9-6=3，
f（3）=0，即曲線y=f（x）在點(diǎn)P（3，0）處的切線方程為y-0=3（x-3），
即y=3x-9；
（2）函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x²-ax=x（x-a），
若a=0，則f′（x）=x²≥0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為R，
若a＞0，由f′（x）＞0解得x＞a或x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（a，+∞）和（-∞，0），
由f′（x）＜0，解得0＜x＜a，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間為（0，a），
若a＜0，由f′（x）＞0解得x＞0或x＜a，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為（0，+∞）和（-∞，a），
由f′（x）＜0，解得a＜x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，遞減區(qū)間為（a，0）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的切線的求解，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．