Question

為了比較注射A，B兩種藥物后產(chǎn)生的皮膚皰疹的面積，選200只老鼠做試驗(yàn)，將這200只老鼠隨機(jī)地分成兩組，每組100只，其中一組注射藥物A（稱為A組），另一組注射藥物B（稱為B組），則A，B兩組老鼠皮膚皰疹面積（單位：mm²）的頻數(shù)分布表、頻率分布直方圖分別如下．

皰疹面積	[60，65）	[65，70）	[70，75）	[75，80）
頻數(shù)	20	50	20	10

（Ⅰ）為方便A，B兩組試驗(yàn)對(duì)比，現(xiàn)都用分層抽樣方法從A，B兩組中各挑出20只老鼠，求A，B兩組皮膚皰疹面積同為[60，65）的這一區(qū)間應(yīng)分別挑出幾只？
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，將A，B兩組挑出的皮膚皰疹面積同為[60，65）這一區(qū)間上的老鼠放在一起觀察，幾天后，從中抽取兩只抽血化驗(yàn)，記B組中被抽中的只數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由A組頻數(shù)分布表可知，A組中[60，65）這一小組的頻數(shù)為20，由B組頻率分布直方圖可知，B組中[60，65）這一小組的頻率為0.1，這一小組頻數(shù)為10，由此能求出A、B兩組中皮膚皰疹面積同為[60，65）的這一區(qū)間應(yīng)分別挑出4只、2只．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A，B兩組中[60，65）這一區(qū)間上挑出的老鼠分別有4只、2只，ξ的可能取值為0，1，2，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（Ⅰ）由A組頻數(shù)分布表可知，
A組中[60，65）這一小組的頻數(shù)為20，
由B組頻率分布直方圖可知，B組中[60，65）這一小組的頻率為：
1-（0.05×5+0.04×5+0.06×5+0.03×5）=0.1，
所以這一小組頻數(shù)為100×0.1=10，
由于是分層抽樣，所以

20

100

×20=4，

20

100

×10=2，
即A、B兩組中皮膚皰疹面積同為[60，65）的這一區(qū)間應(yīng)分別挑出4只、2只．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，A，B兩組中[60，65）這一區(qū)間上挑出的老鼠分別有4只、2只，
ξ的可能取值為0，1，2，
P(ζ=0)=

C 2 4

C 2 6

=

6

15

，
P(ζ=1)=

C 1 4 C 1 2

C 2 6

=

8

15

，
P(ζ=2)=

C 2 2

C 2 6

=

1

15

，
∴ζ的分布列為

ζ	0	1	2
P	6 15	8 15	1 15

ζ的數(shù)學(xué)期望為E(ζ)=0×

6

15

+1×

8

15

+2×

1

15

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查頻率分布表的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，是中檔題．