Question

14．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，x∈R
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和在區(qū)間（0，$\frac{π}{2}$）上的值域；
（Ⅱ）設(shè)在△ABC中，內(nèi)角所對邊的邊長分別為，且c=2$\sqrt{3}$，f（C）=0，若sinB=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先利用三角函數(shù)的關(guān)系式的恒等變換把函數(shù)的關(guān)系式變性成正弦型函數(shù)，進(jìn)一步求出函數(shù)的周期和最值．
（Ⅱ）利用函數(shù)的關(guān)系式，首先根據(jù)三角形的交的他范圍，進(jìn)一步求出C的大小，最后利用正弦和余弦定理求出結(jié)果．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1+cos2x}{2}$-$\frac{1}{2}$，
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x-1，
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1．
∴f（x）的最小正周期是$T=\frac{2π}{2}=π$．
∵0＜x＜$\frac{π}{2}$，則$f（x）∈（-\frac{3}{2}，0]$；     
（Ⅱ）由$f（C）=sin（2C-\frac{π}{6}）-1=0$，得到$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$，即$C=\frac{π}{3}$，
∵sinB=2sinA，
∴由正弦定理得b=2a①，
又$c=\sqrt{3}$，
∴由余弦定理，得${{c}^{2}}={{a}^{2}}+{^{2}}-2abcos\frac{π}{3}$，即a²+b²-ab②，
聯(lián)立①②解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=4}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了倍角公式、和差公式三角函數(shù)的周期公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．