Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點F（1，0），過點F且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與橢圓交于 P，Q兩點，當(dāng)直線 PQ經(jīng)過橢圓的一個頂點時其傾斜角恰好為60°．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點，線段OF上是否存在點T（t，0），使得

QP

•

TP

=

PQ

•

TQ

？若存在，求出實數(shù)t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)題意，知c=1，再求出b²與a²即可；
（2）設(shè)出直線PQ的方程，與橢圓方程聯(lián)立，得出關(guān)于x的一元二次方程；
再設(shè)出P、Q的坐標(biāo)，表示出線段PQ的中點R，根據(jù)

QP

•

TP

=

PQ

•

TQ

得出TR是線段PQ的垂直平分線；
利用直線TR的方程，求出T點的橫坐標(biāo)t的取值范圍，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）根據(jù)題意，得c=1；
又

b

c

=tan60°=

3

，所以b²=3，
且a²=b²+c²=4，
所以橢圓的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1； 

（2）設(shè)直線PQ的方程為：y=k（x-1），（k≠0），
代入

x2

4

+

y2

3

=1，得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0；
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），線段PQ的中點為R（x₀，y₀），
則x0=

x1+x2

2

=

4k2

3+4k2

，y0=k(x0-1)=-

3k

3+4k2

，
由

QP

•

TP

=

PQ

•

TQ

得：

PQ

•(

TQ

+

TP

)=

PQ

•(2

TR

)=0，
所以直線TR為線段PQ的垂直平分線；
直線TR的方程為：y+

3k

3+4k2

=-

1

k

(x-

4k2

3+4k2

)，
令y=0得：T點的橫坐標(biāo)t=

k2

3+4k2

=

1

3 k2 +4

，
因為k²∈（0，+∞），所以

3

k2

+4∈(4，+∞)，
所以t∈(0，

1

4

)；
所以線段OF上存在點T（t，0），
使得

QP

•

TP

=

PQ

•

TQ

，其中t∈(0，

1

4

)．

點評：本題考查了橢圓的性質(zhì)與應(yīng)用的問題，也考查了直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用問題，直線垂直關(guān)系的應(yīng)用問題以及根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用問題，是綜合性題目．