Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）²e 

x

a

，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點（-3，0），（3，0），如圖所示．
（Ⅰ）求f（x）的極大值點；
（Ⅱ）求a的值；
（Ⅲ）若m≥0，求f（x）在區(qū)間[m，m+1]上的最小值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由導(dǎo)函數(shù)圖象可知：f（x）在區(qū)間（-∞，-3）單調(diào)遞增，在區(qū)間（-3，3）單調(diào)遞減，可得f（x）的極大值點；
（Ⅱ）由f′（-3）=0得a=±3，當(dāng)a=-3時，f′（-4）＜0與已知矛盾，即可求a的值；
（Ⅲ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求f（x）在區(qū)間[m，m+1]上的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）由導(dǎo)函數(shù)圖象可知：f（x）在區(qū)間（-∞，-3）單調(diào)遞增，在區(qū)間（-3，3）單調(diào)遞減，
所以f（x）的極大值點為-3------------------（3分）
（Ⅱ）f′（x）=

1

a

(x2-a2)e

x

a

------------------（2分）
由f′（-3）=0得a=±3------------------（3分）
當(dāng)a=-3時，f′（-4）＜0與已知矛盾，∴a=3------------------（5分）
（Ⅲ）∵f′（x）=

1

3

(x2-9)e

x

3

①當(dāng)m+1≤3，即0≤m≤2時，f（x）在區(qū)間[m．m+1]上單調(diào)遞減
∴f（x）_min=f（m+1）=(m-2)e

m+1

3

------------------（2分）
②當(dāng)m＜3＜m+1，即2＜m＜3時，f（x）在區(qū)間[m.3]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[3，m+1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（3）=0------------------（4分）
③當(dāng)m≥3時，f（x）在區(qū)間[m．m+1]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（m）=(m-3)2e

m

3

------------------（6分）

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．