已知函數(shù)f（x）=
1
2
x2+lnx，求證：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜
2
3
x3．
考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值
專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：設(shè)g（x）=
2
3
x3-f（x）=
2
3
x3-
1
2
x2-lnx，則g′（x）=2x2-x-
1
x
，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能證明當(dāng)x＞1時(shí)，
1
2
x2+lnx＜
2
3
x3．
解答： 證明：設(shè)g（x）=
2
3
x3-f（x）=
2
3
x3-
1
2
x2-lnx，
∴g′（x）=2x2-x-
1
x
，
∵當(dāng)x＞1時(shí)，g′（x）=
(x-1)(2x2+x+1)
x
＞0，
∴g（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=
1
6
＞0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，
1
2
x2+lnx＜
2
3
x3．
點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意構(gòu)造法和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的一條漸近線的方程為y=
3
x，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為
3
，則雙曲線的方程為（　�。�
A、x2-
y2
3
=1
B、
x2
3
-
y2
9
=1
C、3x2-y2=1
D、
x2
3
-y2=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)M是由滿足下列條件的函數(shù)f（x）（x∈R）構(gòu)成的集合：①方程f（x）-x=0有實(shí)數(shù)根；②函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x）滿足0＜f′（x）＜1．
（Ⅰ）判斷函數(shù)f（x）=
x
2
+
cos
8
-
1
8
是否是集合M中的元素，并說明理由；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）是集合M中的一個(gè)元素，x0是方程f（x）-x=0的實(shí)數(shù)根，求證：對(duì)于定義域中的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2，當(dāng)|x0-x1|＜1且|x2-x0|＜1時(shí)，不等式|f（x2）-f（x1）|＜2成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x）=
1
3
x3+cx+3，f（x）在x=0處的切線與直線y=x+2垂直．
（Ⅰ）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）設(shè)g（x）=4ln x-f′（x），求g（x）的極值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=mx-
m-1
x
-lnx，m∈R，函數(shù)g（x）=
1
cosθ•x
+lnx在[1，+∞）上為增函數(shù)，且θ∈[0，
π
2
）．
（1）求θ的取值范圍；c
（2）若h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；
（3）若在[1，e]上至少存在一個(gè)x0，使得h（x0）＞
2e
x0
成立，求m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=（x-1）ex-kx2（k∈R）．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)k∈（
1
2
，1]時(shí)，求用k表示函數(shù)f（x）在（0，+∞）的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=3x2+a，g（x）=2ax+1，a∈R
（1）證明：方程f（x）=g（x）恒有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若函數(shù)f（x）在（0，2）上無零點(diǎn)，請(qǐng)你探究函數(shù)y=|g（x）|在（0，2）上的單調(diào)性；
（3）設(shè)F（x）=f（x）-g（x），若對(duì)任意的x∈（0，1），恒有：-1＜F（x）＜1成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x
3
 
+a
x
2
 
+bx．
（1）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，1），（1，3]內(nèi)各有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)以a2-b取最大值時(shí)，求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（2）若a=-1，在曲線y=f（x）上是否存在唯一的點(diǎn)P，使曲線在點(diǎn)P處的切線l與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知曲線S：y=x3-6x2-x+6，求S上斜率最小的切線方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案