Question

已知函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，且當(dāng)x∈[0，

π

6

]時，f（x）的最小值為2．
（1）求的a值，并求f（x）單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）將函數(shù)f（x）圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，再把所得圖象向右平移

π

12

個單位，得到函數(shù)g（x），求方程g（x）=2在區(qū)間[0，

π

2

]上的所有根之和．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由題意可得，當(dāng)2x+

π

6

=

π

6

時，f（x）取得最小值為2sin

π

6

+a+1=2，求得a的值，可得 f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律可得函數(shù)g（x）=2sin（4x-

π

6

）+1．由方程g（x）=2，可得4x-

π

6

=

π

6

，或4x-

π

6

=

5π

6

，求得x的值，可得方程在區(qū)間[0，

π

2

]上的所有根之和．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=2sin（2x+

π

6

）+a+1，且當(dāng)x∈[0，

π

6

]時，2x+

π

6

∈[

π

6

，

π

2

]，故當(dāng)2x+

π

6

=

π

6

時，
f（x）取得最小值為2sin

π

6

+a+1=2，求得a=0，∴f（x）=2sin（2x+

π

6

）+1．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
（2）將函數(shù)f（x）圖象上各點的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)縮短到原來的

1

2

倍，可得函數(shù)y=2sin（4x+

π

6

）+1 的圖象；
再把所得圖象向右平移

π

12

個單位，得到函數(shù)g（x）=2sin[4（x-

π

12

）+

π

6

]+1=2sin（4x-

π

6

）+1的圖象．
方程g（x）=2，即sin（4x-

π

6

）=

1

2

，在區(qū)間[0，

π

2

]上，4x-

π

6

∈[-

π

6

，

11π

6

]．
故由方程可得4x-

π

6

=

π

6

，或4x-

π

6

=

5π

6

，求得x=0，或x=

π

4

，
故方程在區(qū)間[0，

π

2

]上的所有根之和為

π

4

．

點評：本題主要考查正弦函數(shù)的定義域和值域，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．