Question

10．已知{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，且對一切n∈N*恒有a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，可得a₁=1，結(jié)合{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，可得{a_n}的通項(xiàng)公式，
（Ⅱ）將其代入已知條件a_nb_n+1+b_n+1=nb_n來求{b_n}的通項(xiàng)公式；

解答 解：（Ⅰ）∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
當(dāng)n=1時(shí)，a₁b₂+b₂=b₁．
∵b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，
∴a₁=1，
又∵{a_n}是公差為2的等差數(shù)列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
（Ⅱ）∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，
∴（2n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n．
化簡，得
2b_n+1=b_n，即$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1

點(diǎn)評 本題考查的知識點(diǎn)是數(shù)列的遞推式，數(shù)列的通項(xiàng)公式，難度中檔．