Question

19．若函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+$\frac{3π}{2}$）且f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x）（x∈R），則稱函數(shù)f（x）為“M函數(shù)”．
（1）試判斷f（x）=sin$\frac{4}{3}$x是否為“M函數(shù)”，并說明理由；
（2）函數(shù)f（x）為“M函數(shù)”，且當x∈[$\frac{π}{4}$，π]時，f（x）=sinx，求y=f（x）的解析式，并寫出在[0，$\frac{3π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）在（2）條件下，當x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3kπ}{2}$+π]（k∈N）時，關(guān)于x的方程f（x）=a（a為常數(shù)）有解，記該方程所有解的和為S（k），求S（k）．

Answer 1

分析 （1）由不滿足f（$\frac{π}{4}$+x）≠f（$\frac{π}{4}$-x）（x∈R），得f（x）=sin$\frac{4}{3}$x不是“M函數(shù)”，
（2）可得函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{3π}{2}$，f（x）=f（$\frac{π}{2}$-x）（x∈R），
①當x$∈[\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}，\frac{3}{2}kπ+π]$時，f（x）=f（x-$\frac{3}{2}kπ$）=sin（x-$\frac{3}{2}kπ$）
②當x∈[$\frac{3}{2}kπ-\frac{π}{2}，\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}$]時，f（x）=f[$\frac{π}{2}$-（x-$\frac{3}{2}kπ$）]=cos（x-$\frac{3}{2}kπ$）
在[0，$\frac{3π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間：[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，[π，$\frac{3π}{2}$]
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，π]上的圖象，根據(jù)圖象可得：
①當0$≤a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$或1時，f（x）=a（a為常數(shù)）有2個解，其和為$\frac{π}{2}$
②當a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（x）=a（a為常數(shù)）有3個解，其和為$\frac{3}{4}π$．
③當$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1$時，f（x）=a（a為常數(shù)）有4個解，其和為π
即可得當x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3kπ}{2}$+π]（k∈N）時，記關(guān)于x的方程f（x）=a（a為常數(shù)）所有解的和為S（k），

解答 解：（1）f（x）=sin$\frac{4}{3}$x不是“M函數(shù)”．
∵f（$\frac{π}{4}$+x）=sin$\frac{4}{3}（\frac{π}{4}+x）$=sin（$\frac{π}{3}+\frac{4}{3}x$），f（$\frac{π}{4}$-x）=sin$\frac{4}{3}（\frac{π}{4}-x）$=sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{4}{3}$x）
∴f（$\frac{π}{4}$+x）≠f（$\frac{π}{4}$-x）（x∈R），
∴f（x）=sin$\frac{4}{3}$x不是“M函數(shù)”．
（2）∵函數(shù)f（x）滿足f（x）=f（x+$\frac{3π}{2}$），∴函數(shù)f（x）的周期T=$\frac{3π}{2}$
∵f（$\frac{π}{4}$+x）=f（$\frac{π}{4}$-x）（x∈R），∴f（x）=f（$\frac{π}{2}$-x）（x∈R），
①當x$∈[\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}，\frac{3}{2}kπ+π]$時，f（x）=f（x-$\frac{3}{2}kπ$）=sin（x-$\frac{3}{2}kπ$）
②當x∈[$\frac{3}{2}kπ-\frac{π}{2}，\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}$]時，f（x）=f[$\frac{π}{2}$-（x-$\frac{3}{2}kπ$）]=cos（x-$\frac{3}{2}kπ$）
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{cos（x-\frac{3}{2}kπ），（\frac{3}{2}kπ-\frac{π}{2}≤x≤\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}）}\\{sin（x-\frac{3}{2}kπ），（\frac{3}{2}kπ+\frac{π}{4}≤x≤\frac{3}{2}kπ+π）}\end{array}\right.$
在[0，$\frac{3π}{2}$]上的單調(diào)遞增區(qū)間：[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，[π，$\frac{3π}{2}$]；
（3）由（2）可得函數(shù)f（x）在[-$\frac{π}{2}$，π]上的圖象為：

 
①當0$≤a＜\frac{\sqrt{2}}{2}$或1時，f（x）=a（a為常數(shù)）有2個解，其和為$\frac{π}{2}$
②當a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時，f（x）=a（a為常數(shù)）有3個解，其和為$\frac{3}{4}π$．
③當$\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1$時，f（x）=a（a為常數(shù)）有4個解，其和為π
∴當x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{3kπ}{2}$+π]（k∈N）時，記關(guān)于x的方程f（x）=a（a為常數(shù)）所有解的和為S（k），
則S（k）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{π}{2}（3{k}^{2}+4k+1），（0≤a＜\frac{\sqrt{2}}{2}或a=1）}\\{\frac{3π}{4}（3{k}^{2}+4k+1），a=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{π（3{k}^{2}+4k+1），\frac{\sqrt{2}}{2}＜a＜1}\end{array}\right.$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查了三角恒等變形，屬于中檔題．