Question

6．設(shè)函數(shù)φ（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）
（1）若φ（-1）=0，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有φ（x）≥0成立，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）在（1）的條件下，令f（x）=φ（x）-4x，若g（x）與f（x）在（1，+∞）上有相同的單調(diào)性，1＜x₁＜x₂，x₃=mx₁+（1-m）x₂，x₄=（1-m）x₁+mx₂且x₃＞1，x₄＞1，試比較：|g（x₃）-g（x₄）|與|g（x₁）-g（x₂）|的大�。�

Answer 1

分析 （1）φ（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有φ（x）≥0成立，可得a＞0且b²-4ac≤0恒成立，即（a-1）²≤0恒成立，從而求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）由題設(shè)知，g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增分①m∈（0，1）②m≤0③m≥1三種情況討論，即可比較：|g（x₃）-g（x₄）|與|g（x₁）-g（x₂）|的大�。�

解答 解：（1）∵φ（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有φ（x）≥0成立
∴a＞0且b²-4ac≤0恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）f（x）=φ（x）-4x=（x-1）²，在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
①m∈（0，1），x₃=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁
x₃＜mx₂+（1-m）x₂=x₂
∴x₃∈（x₁，x₂）同理可得x₄∈（x₁，x₂）
由g（x）得單調(diào)性可知，g（x₃），g（x₄）∈（g（x₁），g（x₂））
從而有|g（x₃）-g（x₄）|＜|g（x₁）-g（x₂）|；
②m≤0時(shí)，x₃=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂
x₄=（1-m）x₁+mx₂≤（1-m）x₁+mx₁=x₁
于是由x₃＞1，x₄＞1及g（x）得單調(diào)性可知g（x₄）≤g（x₁）＜g（x₂）≤g（x₃）
∴|g（x₃）-g（x₄）|≥|g（x₁）-g（x₂）|；
③m≥1時(shí)，同理可得x₃≤x₁，x₄≥x₂，進(jìn)而可得|g（x₃）-g（x₄）|≥|g（x₁）-g（x₂）|．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)的概念、性質(zhì)、圖象等基礎(chǔ)知識(shí)，考查靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法進(jìn)行探索、分析與解決問題的綜合能力．