Question

9．在△ABC中，如果lga-lgc=lg（sinB）=-lg$\sqrt{2}$，且B為銳角，試求A，B，C．

Answer 1

分析 由已知的條件利用正弦定理，余弦定理和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求A，B，C．

解答 解：在△ABC中，
∵lga-lgc=lgsinB=-lg$\sqrt{2}$=lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$，并且B為銳角，
∴l(xiāng)g$\frac{a}{c}$=lgsinB=-lg$\sqrt{2}$=lg$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴sinB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴B=$\frac{π}{4}$，且$\frac{a}{c}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴c=$\sqrt{2}$a，∴cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴由余弦定理得cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$=$\frac{3{a}^{2}-^{2}}{2\sqrt{2}{a}^{2}}$，
得a²=b²，即a=b，
∴三角形ABC為等腰三角形，
即A=B=$\frac{π}{4}$，
∴C=$\frac{π}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，直角三角形中的邊角關(guān)系，要求熟練掌握余弦定理和正弦定理的應(yīng)用．